برآوردگر نقطه‌ای

امتیاز کاربران

ستاره فعالستاره فعالستاره فعالستاره فعالستاره فعال
 

تعریف برآوردگر نقطه‌ای : هر تابعی از نمونه ی تصادفی مثل  \(W\left( {{X_1},...,{X_n}} \right)\)  یک برآوردگر نقطه‌ای می‌باشد؛ بر این اساس هر آماره‌ (statistic)، یک برآوردگر نقطه‌ای می‌باشد.

توجه داشته باشید که در این  تعریف هیچ اشاره‌ای به ارتباط بین برآوردگر و پارامتر مورد برآورد نشده است. هر چند می‌توان به عنوان یک بیان در تعریف ارائه گردد. چنین بیانی مجموعه برآوردگرها را محدود می‌کند. همچنین در تعریف هیچ اشاره‌ای بر دامنه \(W\left( {{X_1},...,{X_n}} \right)\) نشده است هر چند قاعدتاً باید دامنه آماره و پارامتر بر هم منطبق باشند. لازم به ذکر است که مثال نقض نیز وجود دارد و لذا همیشه دامنه‌ها یکی نمی‌باشد. حال باید به تفاوت بین برآوردگر و برآورد بپردازیم. یک برآوردگر تابعی از نمونه‌ی تصادفی است در حال که یک برآورد یک مقدار مشاهده شده از یک نمونه محقق شده و یافته یک برآوردگر است. بصورت نمادین، وقتی که یک نمونه انتخاب شد، یک برآوردگر تابعی از متغیرهای تصادفی \({X_1},...,{X_n}\) است، در حالی که یک برآورد تابعی از مقادیر مشاهده شده‌ی \({x_1},...,{x_n}\) می‌باشد. 

مواقعی، یک کاندید واضع و مبرهن برای برآوردگر نقطه‌ای از یک پارامتر خاص وجود دارد(به عنوان مثال میانگین نمونه‌ای یک انتخاب مناسب برای میانگین جامعه استمی‌باشد). اما چنانچه از این موقعیت‌های ساده‌ای بگذریم ارتباط مستقیم بین برآورد و برآوردگر شفاف نخواهد بود و این موضوع ممکن است گمراه‌کننده باشد. بنابراین داشتن بعضی تکنیک‌ها که حداقل  تعدادی کاندیدای معقول در اختیار محقق قرار دهند؛ مفید خواهد بود. نظر به اینکه این تکنیکها هیچ تضمینی برای ارائه گزینه‌ی مناسب ندارند. برآوردگرهای نقطه ایی که با استفاده از این تکنیک‌ها معرفی می‌گردند می بایست قبل از استفاده و کاربرد واقعی مورد ارزیابی و صحه گذاری قرار گیرند.

در ادامه به معرفی روش‌های برآوردیابی می‌پردازیم.

روش‌های انتخاب برآوردگرها

هر چند در حالاتی تصمیم‌گیری در خصوص انتخاب برآوردگر ساده می‌باشد؛ اما ارائه رویکردهایی برای معرفی برآوردگر که مدل‌های پیچیده را نیز در بر گیرد موضوع این بخش بوده و در ادامه به آن می‌پردازیم.

روش گشتاورها

روش گشتاورها یکی از قدیمی ترین روش یافتن برآوردگر نقطه‌ای می‌باشد که حداقل به عصر کارل پیرسون در سالهای 1800 برمی گردد. این روش از نمونه کامل در برآورد استفاده می‌شود.  و این جزء ویژگی‌های این روش می‌باشد. اما در بعضی از حالتها،  این روش برآوردگرهایی را نتیجه می‌دهد که ممکن است نیاز به اصلاح داشته باشد. این روش، معمولاً شروع  خوبی برای معرفی و آشنایی با طبیعت مدل خواهد بود؛ بخصوص این مساله زمانی نمود پیدا می‌کند که بدست آوردن برآوردگر به  روش‌های دیگر سخت باشد. حال به نحوه عملکرد این روش می‌پردازیم.

فرض کنید \({X_1},...,{X_n}\) یک نمونه از جامعه‌ای با چگالی \(f\left( {x\left| {{\theta _1},...,{\theta _k}} \right.} \right)\) باشد. «روش برآورد گشتاوری بوسیله \(k\) گشتاور نمونه‌ای اول متناظر با \(k\) گشتاور جامعه بدست بیاید که در اصل با حل همزمان دستگاه معادلات این کار انجام می‌شود.» تعریف می‌کنیم:

\({m_1} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {X_i^1} \quad \quad ,\quad \quad {\mu _1} = E\left( {{X^1}} \right)\)

\(\begin{array}{l}
{m_2} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {X_i^2} \quad \quad ,\quad \quad {\mu _2} = E\left( {{X^2}} \right)\\
\vdots
\end{array}\)

\({m_k} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {X_i^k} \quad \quad ,\quad \quad {\mu _k} = E\left( {{X^k}} \right)\)

گشتاور \({\mu _j}\) جامعه نوعاً تابعی از  \({\theta _1},...,{\theta _k}\) خواهد بود که به صورت \({\mu _j}\left( {{\theta _1},...,{\theta _k}} \right)\) نشان داده می‌شود. روش برآورد گشتاوری \(\left( {{{\tilde \theta }_1},...,{{\tilde \theta }_k}} \right)\) از  \(\left( {{\theta _1},...,{\theta _k}} \right)\) با حل دستگاه معادلات برای \(\left( {{\theta _1},...,{\theta _k}} \right)\)  بر حسب \(\left( {{m_1},...,{m_k}} \right)\) به دست می‌آید.

\({m_1} = {\mu _1}\left( {{\theta _1},...,{\theta _k}} \right)\)

\(\begin{array}{l}
{m_2} = {\mu _2}\left( {{\theta _1},...,{\theta _k}} \right)\\
\vdots
\end{array}\)

\({m_k} = {\mu _k}\left( {{\theta _1},...,{\theta _k}} \right)\)

مثال1: فرض کنید \({X_1},...,{X_n}\) یک نمونه \(i.i.d\) از  \(N\left( {\theta ,{\sigma ^2}} \right)\) باشند. در نمادگذاری قبلی \({\theta _1} = \theta \) و \({\theta _2} = {\sigma ^2}\) است. داریم  \({m_1} = \bar X\) و \({m_2} = \frac{1}{n}\sum {X_i^2} \) و  \({\mu _1} = \theta \) و \({\mu _2} = {\theta ^2} + {\sigma ^2}\). در نتیجه می‌باید معادله

\(\bar X = \theta \quad ,\quad \frac{1}{n}\sum {X_i^2}  = {\theta ^2} + {\sigma ^2}\)

را بر حسب \(\theta \) و  \({\sigma ^2}\) حل کنیم. در نهایت

\(\tilde \theta  = \bar X\quad ,\quad {\tilde \sigma ^2} = \frac{1}{n}\sum {X_i^2}  - {\bar X^2} = \frac{1}{n}\sum {{{\left( {X_i^{} - \bar X} \right)}^2}} \)

در این مثال روش حل گشتاوری منطبق با درک مستقیم می‌باشد. لازم به توضیح است که در مواقعی که هیچ برآوردگر آشکاری قابل ارائه نمی‌باشد؛ روش گشتاوری کاربردی مناسبی خواهد داشت.

مثال2: فرض کنید \({X_1},...,{X_n}\) یک نمونه \(i.i.d\) از توزیع \(bin\left( {k,p} \right)\) باشند، به بیانی دیگر

\(P\left( {{X_i} = x\left| {k,p} \right.} \right) = \left( \begin{array}{l}
k\\
x
\end{array} \right){p^x}{\left( {1 - p} \right)^{k - x}}\quad \quad ,\quad x = 0,1,...,k\)

در اینجا فرض می‌کنیم که \(k\) و  \(p\) هر دو نامعلوم باشند و جستجوی برآورد نقطه‌ای برای هر یک از این دو پارامتر در دستور کار قرار دارد.

با مساوی قرار دادن دو گشتاور نمونه‌ای با مقادیر متناظر جامعه‎‌ای داریم:

\(\bar X = kp\)

\(\frac{1}{n}\sum {X_i^2}  = kp\left( {1 - p} \right) + {k^2}{p^2}\)

که اکنون معادلات را بر حسب \(k\) و  \(p\) حل کنیم. بعد از عملیات جبری مناسب، برآوردگرها با روش گشتاور را بصورت زیر بدست می‌آوریم:

\(\tilde k = \frac{{{{\bar X}^2}}}{{\bar X}+1/n*\sum{\left(X_{i}+\bar X\right)}^2}\)

 و

\(\tilde p = \frac{{\bar X}}{{\tilde k}}\)

این برآورد بهترین برآوردها برای پارامتر جامعه نمی‌باشند و در شرایطی ممکن است مقدار  \(k\) و  \(p\)   عددی منفی باشد. در حالی که مقادیر مثبت مورد پذیرش است. به عبارتی دیگر دامنه برآوردگر با دامنه پارامتر بر هم منطبق نیستند. به عنوان مثال در روش گشتاوری زمانی که میانگین نمونه‌ای کمتر از واریانس نمونه‌ای باشد مقدار برآوردها منفی خواهد بود و این حالتی است که میزان پراکندگی و تغییرات در داده‌ها خیلی زیاد است.

روش گشتاوری می‌تواند در به دست آوردن تقریب توزیع آماره مفید باشد. این روش گاهی اوقات تطبیق گشتاوری نامیده می‌شود و تقریبی را نتیجه می‌دهد که بر اساس تطبیق گشتاورهای توزیع بنا شده است. در تئوری، گشتاور توزیع هر آماره می‌تواند به همان توزیع منطبق شود. برای روشن شدن این موضوع،  مثال بعد که کاربردی جالب این تکنیک است بررسی خواهد شد. (ساترویت(1946)، تمرین 5-52 را ببینید).

مثال3: اگر \({Y_i}\;;\;\;i = 1,...,k\)ها متغیرهای مستقل و دارای توزیع \(\chi _{{r_{\,i}}}^2\) باشند قبلاً   در لم 5-4-1 مشاهده شد که  \(\sum {{Y_i}} \) دارای توزیع \(\chi _{}^2\) با  \(\sum {{r_i}} \) درجه آزادی می‌باشد. متاسفانه به دست آوردن توزیع  \(\sum {{a_i}{Y_i}} \) که در آن \({a_i}\)ها مقادیر ثابت و مشخصی هستند خیلی سخت می‌باشد. هر چند معقول به نظر می‌رسد که فرض کنیم یک تقریب خوب برای آن، توزیع  \(\chi _\nu ^2\) و با مقدار مشخص \(\nu \) است.

این موضوع در اصل مسأله ساتروایت می‌باشد. وی علاقمند بود که توزیع مخرج کسر آماره \(t\) را تقریب بزند و در این راستا \(\sum {{a_i}{Y_i}} \) را به عنوان مربع مخرج آماره معرفی نمود. از این رو، وی قصد داشت  برای  \({a_1},...,{a_k}\) مشخص، مقدار \(\nu \) ای را پیدا کند که 

\(\sum\limits_{i = 1}^k {{a_i}{Y_i}}  \cong \frac{{\chi _\nu ^2}}{\nu }\)

بدلیل اینکه  \(E\left( {\frac{{\chi _\nu ^2}}{\nu }} \right) = 1\) برای تطبیق گشتاور اول نیاز داریم که

\[E\left( {\sum\limits_{i = 1}^k {{a_i}{Y_i}} } \right) = \sum\limits_{i = 1}^k {{a_i}E\left( {{Y_i}} \right)}  = \sum\limits_{i = 1}^k {{a_i}{r_i}}  = 1\]

که فقط یک محدودیت روی \({a_i}\)ها بدست می‌دهد و در واقع هیچ اطلاعاتی در برآورد \(\nu \) ارائه نمی‌دهد؛ لذا گشتاور دوم را مد نظر قرار میدهیم و بر این اساس نیاز است که

\[E{\left( {\sum\limits_{i = 1}^k {{a_i}{Y_i}} } \right)^2} = E{\left( {\frac{{\chi _\nu ^2}}{\nu }} \right)^2} = V\left( {\frac{{\chi _\nu ^2}}{\nu }} \right) + {E^2}\left( {\frac{{\chi _\nu ^2}}{\nu }} \right) = \frac{{2\nu }}{{{\nu ^2}}} + 1 = \frac{2}{\nu } + 1\]

با استفاده از منطق روش گشتاوری با حل معادله برای  \(\nu \) خواهیم داشت:

\(\hat \nu  = \frac{2}{{{{\left( {\sum\nolimits_{i = 1}^k {{a_i}{Y_i}} } \right)}^2} - 1}}\)

بنابراین کاربرد روش گشتاور یک برآورد به دست می‌دهد. اما این برآورد می‌تواند مقادیر منفی هم باشد. ساتروایت با محاسبه جالب رابطه زیر را پیشنهاد نمود\(\left( {{{\left( {E\sum {{a_i}{Y_i}} } \right)}^2} = 1} \right)\): 

\[E{\left( {\sum {{a_i}{Y_i}} } \right)^2} = Var\left( {\sum {{a_i}{Y_i}} } \right) + {\left( {E\sum {{a_i}{Y_i}} } \right)^2}\]

\[ = {\left( {E\sum {{a_i}{Y_i}} } \right)^2}\left( {\frac{{Var\left( {\sum {{a_i}{Y_i}} } \right)}}{{{{\left( {E\sum {{a_i}{Y_i}} } \right)}^2}}} + 1} \right)\]

\[ = \left( {\frac{{Var\left( {\sum {{a_i}{Y_i}} } \right)}}{{{{\left( {E\sum {{a_i}{Y_i}} } \right)}^2}}} + 1} \right)\]

\[ = \frac{{2\nu }}{{{\nu ^2}}} + 1\]

\[ = \frac{2}{\nu } + 1\]

در نتیجه

\[\nu  = \frac{{2{{\left( {E\sum {{a_i}{Y_i}} } \right)}^2}}}{{Var\left( {\sum {{a_i}{Y_i}} } \right)}}\]

در نهایت با استفاده از این واقعیت که  \({Y_1}\,,\,...\,,{Y_k}\) مستقل و متغیرهای تصادفی دارای توزیع \({\chi ^2}\) هستند داریم

\[Var\left( {\sum {{a_i}{Y_i}} } \right) = Var\sum {a_i^2Var} \left( {{Y_i}} \right)\]

\[ = 2\sum {\frac{{a_i^2{{\left( {E{Y_i}} \right)}^2}}}{{{r_i}}}} \]

با جایگذاری این عبارت برای واریانس و حذف امید ریاضی به برآورد ساتروایت خواهیم رسید.

\[\hat \nu  = \frac{{{{\left( {\sum {{a_i}{Y_i}} } \right)}^2}}}{{\sum {\frac{{a_i^2}}{{{r_i}}}Y_i^2} }}\]

این تقریب کاملاً مناسب و در حال حاضر به طور گسترده استفاده می شود. بنابراین ساتروایت موفق شد برآوردی ارائه دهد که همواره مقدار آن مثبت می باشد.

 

روش ماکسیمم درستنمایی (برآوردگرهای ماکسیمم درستنمایی =MLE)

 روش ماکسیمم درستنمایی  یک روش به مراتب عامه پسندتر از روش قبلی می باشد. و بر این منطق استوار است که در یک نمونه تصادفی مقداری از پارامتر را بیابیم که احتمال فوق مشاهده را ماکسیمم نماید. 

در رابطه با این روش در مطالب آینده به طور مفصل بحث می گردد 

 

 

 

توجه:

این بخش ترجمه ای از کتاب استنباط آماری (نوشته ی کسلا و برگر) می باشد که جهت عزیزان محترم ارائه شده است.

 

شماره تماس:   09300023999

رایانامه:  این آدرس ایمیل توسط spambots حفاظت می شود. برای دیدن شما نیاز به جاوا اسکریپت دارید

 

Tags: مقالات رایگان

نوشتن دیدگاه


تصویر امنیتی
تصویر امنیتی جدید

دفاتر ما

تماس با ما آمادگی داریم تا با شبکه ای از همکاران و مشاوران در هر یک از شهرهای بزرگ (تهران-اصفهان-مشهد-زنجان-... )در کنار شما باشیم 

 با ما در تماس باشید

نظر کاربران

  • مهدی یار

    با تشکر از تمامی زحمات دست اندرکارن و زحمت کشان، برای همگی آرزوی سلامتی و بهروزی دارم
  • پری کرمی

    به کارهای خوبتون ادامه بدید. لطفا برای ارسال مطالب و درج اون قسمتی را تعبیه کنید
  • فاطمه بهرامی

    آقای تازیکه امیدوارم در کار خود موفق و پیروز باشد.
  • 1
  • 2
  • 3

آخرین نظرات

  • سلام خسته نباشید من فیلم اموزشی نرمافزار ایزی فیت رو خیلی ...

    ادامه مطلب ..و

     
  • احسنت بر شما. آموزش بسیار خوبی بود. * نتیجه گیری: مطابق نتایج ...

    ادامه مطلب ..و

آمار سایت